Ինչպե՞ս իմանալ, արդյոք խումբը աբելյան է:

2024 Հեղինակ: Fiona Howard | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-10 06:38

Աբելյան խումբը ցույց տալու եղանակները

• Ցույց տալ փոխարկիչը [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 երկու կամայական տարրերից x, y∈G x, y ∈ G պետք է լինի նույնականությունը։
• Ցույց տալ, որ խումբը իզոմորֆ է երկու աբելյան (ենթա)խմբերի ուղղակի արտադրյալի նկատմամբ:

Ինչպե՞ս գիտեք, որ խումբը փոխադարձ է:

Եթե փոխադարձ օրենքը գործում է խմբում, ապա այդպիսի խումբը կոչվում է Աբելյան խումբ կամ փոխադրական խումբ: Այսպիսով, խումբը (G, ∗) համարվում է Աբելյան խումբ կամ կոմուտատիվ խումբ, եթե a∗b=b∗a, ∀a, b∈G: Այն խումբը, որը աբելյան չէ, կոչվում է ոչ աբելյան խումբ:

Ինչպե՞ս ցույց տալ, որ խումբը աբելյան չէ:

Սահմանում 0.3. Աբելյան խումբ Եթե խումբն ունի a և b տարրերի յուրաքանչյուր զույգի համար ab=ba հատկությունը, ապա մենք ասում ենք, որ խումբը Աբելյան է: Խումբը ոչ աբելյան է եթե կա a և b տարրերի զույգ, որոնց համար ab=ba:

Ի՞նչն է խմբին դարձնում ոչ աբելյան:

Մաթեմատիկայում, և հատկապես խմբերի տեսության մեջ, ոչ աբելյան խումբը, որը երբեմն կոչվում է ոչ կոմուտատիվ խումբ, խումբ է (G, ∗), որտեղ կա առնվազն մեկ զույգ. G-ի a և b տարրերը, այնպիսին, որ a ∗ b ≠ b ∗ a Խմբերի այս դասը հակադրվում է աբելյան խմբերին:

Աբելյա՞ն է յուրաքանչյուր խումբ:

Բոլոր ցիկլային խմբերը աբելյան են, բայց աբելյան խումբը պարտադիր չէ, որ ցիկլային լինի: Աբելյան խմբի բոլոր ենթախմբերը նորմալ են։ Աբելյան խմբում յուրաքանչյուր տարր ինքնին գտնվում է խոնարհման դասում, և նիշերի աղյուսակը ներառում է մեկ տարրի ուժեր, որը հայտնի է որպես խմբի գեներատոր: