Ե՞րբ է աբելյան խումբը ցիկլային:

2025 Հեղինակ: Fiona Howard | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2025-01-22 19:04

Ոչ ֆորմալ առումով խումբը ցիկլային է եթե այն ստեղծվում է մեկ տարրով: Աբելյան է, եթե բազմապատկումը փոխվում է: Խումբը ցիկլային է, եթե այն կարող է ստեղծվել մեկ տարրի միջոցով:

Աբելյան խումբը ցիկլակա՞ն է:

Բոլոր ցիկլային խմբերը աբելյան են, բայց աբելյան խումբը անպայմանորեն ցիկլային չէ: Աբելյան խմբի բոլոր ենթախմբերը նորմալ են։ Աբելյան խմբում յուրաքանչյուր տարր ինքնին գտնվում է խոնարհման դասում, և նիշերի աղյուսակը ներառում է մեկ տարրի ուժ, որը հայտնի է որպես խմբի գեներատոր:

Ինչպե՞ս ապացուցել, որ աբելյան խումբը ցիկլային է:

Ապացույց

1. Թող G լինի ցիկլային խումբ g∈G գեներատորով: Այսինքն, մենք ունենք G=⟨g⟩ (G-ի յուրաքանչյուր տարր g-ի որոշ հզորություն է:)
2. Թող a և b լինեն կամայական տարրեր G-ում: Այնուհետև կա n, m∈Z այնպես, որ a=gn և b=gm:
3. Ուստի մենք ստանում ենք ab=ba կամայական a, b∈G-ի համար: Այսպիսով G-ն աբելյան խումբ է։

Ինչպե՞ս գիտեք, որ խումբը ցիկլային է:

4 Պատասխաններ: Վերջավոր խումբը ցիկլային է, եթե, և միայն եթե, այն ունի իրկարգի յուրաքանչյուր բաժանարարի ճշգրիտ մեկ ենթախումբ: Այսպիսով, եթե գտնում եք նույն կարգի երկու ենթախումբ, ապա խումբը ցիկլային չէ, և դա երբեմն կարող է օգնել:

Ի՞նչ է ցիկլային խումբը բացատրել օրինակով:

Օրինակ, (Z/6Z)^×={1, 5} , և քանի որ 6-ը սա երկու անգամ կենտ պարզ է ցիկլային խումբ է։ … Երբ (Z/nZ)^×-ը ցիկլային է, դրա գեներատորները կոչվում են պարզունակ արմատներ modulo n: P պարզ թվի համար խումբը (Z/pZ)^{× միշտ ցիկլային է՝ բաղկացած p կարգի վերջավոր դաշտի ոչ զրոյական տարրերից։}