Թեորեմ 1 Իրական թվերի յուրաքանչյուր Կոշի հաջորդականությունը համընկնում է սահմանին:
Ինչպե՞ս եք գտնում Քոշիի հաջորդականության սահմանը:
Ապացույց. Քոշի հաջորդականության սահմանը an=limn→∞an.
Արդյո՞ք Քոշիի յուրաքանչյուր հաջորդականությունը համընկնում է:
Յուրաքանչյուր իրական Կոշի հաջորդականությունը կոնվերգենտ է: Թեորեմ.
Բոլոր կոնվերգենտ հաջորդականություններն ունե՞ն սահման:
Հետևաբար բոլոր կոնվերգենտ հաջորդականությունների համար սահմանը եզակի է: Նշում Ենթադրենք, որ {an}n∈N-ը կոնվերգենտ է: Այնուհետև թեորեմ 3.1-ով սահմանը եզակի է, և մենք կարող ենք այն գրել որպես l, ասենք:
Կարո՞ղ է հաջորդականությունը համընկնել երկու տարբեր սահմանների:
դա նշանակում է, որ L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, և հետևաբար հաջորդականությունը չի կարող ունենալ երկու տարբեր սահմաններ. Այս ϵ-ի համար, քանի որ a-ն համընկնում է L1-ին, մենք ունենք, որ կա N1 ինդեքս, այնպես որ |an −L1| N1. Միևնույն ժամանակ, an-ը զուգակցվում է L2-ին, և հետևաբար կա N2 ինդեքս, որպեսզի |an −L2| N2.
