Բոլոր ցիկլային խմբերը աբելյան են , բայց աբելյան խումբը պարտադիր չէ, որ ցիկլային լինի: Աբելյան խմբի բոլոր ենթախմբերը նորմալ են։ Աբելյան խմբում յուրաքանչյուր տարր ինքնին գտնվում է խոնարհման դասում, և նիշերի աղյուսակը ներառում է մեկ տարրի ուժեր, որը հայտնի է որպես խմբի գեներատոր խմբի գեներատոր խմբային տարրերի հավաքածու այնպիսին է, որ Գեներատորների հնարավոր կրկնվող կիրառումը իրենց և միմյանց վրա կարող է արտադրել խմբի բոլոր տարրերը: Ցիկլային խմբերը կարող են ստեղծվել որպես մեկ գեներատորի հզորություններ: https://mathworld.wolfram.com › GroupGenerators
Խմբային գեներատորներ -- Wolfram MathWorld-ից
Ո՞ր խումբը աբելյան չէ
Ոչ Աբելյան խումբը, որը երբեմն հայտնի է նաև որպես ոչ փոխադարձ խումբ, խումբ է, որի որոշ տարրեր չեն փոխվում: Ամենապարզ ոչ աբելյան խումբը երկանկյուն D3 խումբն է, որը վեցերորդ կարգի է::
Բոլոր պարզ խմբերը աբելյա՞ն են:
միակ պարզ աբելյան խմբերն են պարզ կարգիխմբերը, որոնք բոլորը վերջավոր են: կան անսահման պարզ խմբեր, որոնք հետևաբար ոչ աբելական են։
Ինչպե՞ս գիտեք, որ խումբը աբելյան է:
Աբելյան խումբը ցույց տալու եղանակները
- Ցույց տալ փոխարկիչը [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 երկու կամայական տարրերից x, y∈G x, y ∈ G պետք է լինի նույնականությունը։
- Ցույց տալ, որ խումբը իզոմորֆ է երկու աբելյան (ենթա)խմբերի ուղղակի արտադրյալի նկատմամբ:
Ո՞ր խումբն է միշտ աբելյան։
Այո, բոլոր ցիկլային խմբերը աբելյան են: Ահա մի փոքր ավելի մանրամասն, որն օգնում է հասկանալի դարձնել, թե «ինչու» բոլոր ցիկլային խմբերը աբելյան են (այսինքն՝ փոխադարձ): Թող G-ը լինի ցիկլային խումբ, իսկ g-ը՝ G-ի գեներատոր։
