Եթե A-ն m × n մատրից է, ապա ATA-ն և AAT-ն ունեն նույն ոչ զրոյական սեփական արժեքները… Հետևաբար Ax-ը AAT-ի սեփական վեկտորն է, որը համապատասխանում է λ սեփական արժեքին: Նմանատիպ փաստարկը կարող է օգտագործվել ցույց տալու համար, որ AAT-ի յուրաքանչյուր ոչ զրոյական սեփական արժեք ATA-ի սեփական արժեքն է, այդպիսով լրացնելով ապացույցը:
AAT-ի և ATA-ի սեփական արժեքները նույնն են:
AAT և ATA մատրիցներն ունեն նույն ոչ զրոյական սեփական արժեքները: Բաժին 6.5-ը ցույց տվեց, որ այս սիմետրիկ մատրիցների սեփական վեկտորները ուղղանկյուն են:
ATA նույնն է, ինչ AAT:
Քանի որ AAT-ը և ATA-ն իրական սիմետրիկ են, դրանք կարող են անկյունագծվել ուղղանկյուն մատրիցներով: Նախորդ հայտարարությունից հետևում է (քանի որ երկրաչափական և հանրահաշվական բազմապատկությունները համընկնում են), որ AAT և ATA ունեն նույն սեփական արժեքները:
ԱԹԱ-ն ունի՞ հստակ սեփական արժեքներ:
Ճիշտ է. Օրինակ, եթե A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , ապա բնորոշ հավասարումը det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 կրկնվող արմատ չունի։ Այսպիսով, A-ի բոլոր սեփական արժեքները տարբեր են, իսկ A-ն՝ անկյունագծելի: 3.35 Ցանկացած իրական A մատրիցի համար AtA-ն միշտ անկյունագծելի է:
Կարո՞ղ են տարբեր սեփական վեկտորներ ունենալ նույն սեփական արժեքը:
Երկու տարբեր սեփական վեկտորներ, որոնք համապատասխանում են նույն Սեփական արժեքին, միշտ գծային կախված են: Երկու տարբեր սեփական վեկտորներ, որոնք համապատասխանում են նույն սեփական արժեքին, միշտ գծային կախված են:
